Fonctions de référence

1) Fonctions périodiques

Dans cette section on tracera les graphes sur les pavés [-7,7] + i [-7,7].

La fonction exponentielle :    
          
                        
   On voit que les réels sont envoyés sur les réels positifs (ligne bleue horizontale au milieu). De plus le module augmente quand la partie réelle des points évalués augmente (en direction de la droite), donc le graphe s'éclaircit de gauche à droite. Enfin, on voit un période imaginaire pure : le graphe se répète en le déplaçant de 2i (vers le haut ou vers le bas).

La fonction sinus :
            

    Celle ci a une période de 2, donc le graphe se répète lors des déplacements horizontaux. On voit sin(0)=0. Par ailleurs le module croît (de façon exponentielle) losque la partie imaginaire est grande.

La fonction cosinus :  sur  sur [-2,2] + i [-2,2]                             La fonction tangente sur [-2,2] + i [-2,2]
    

   Le cosinus ressemble beaucoup au sinus à cause de la formule. Un déplacement du plan envoie le graphe du sinus sur celui du cosinus.La période réelle de la tangente est deux fois plus courte : c'est . Elle alterne les pôles et zéros sur l'axe réel, stabilise le demi-plan de Poincarré, et n'a pas de branche infinie (au sens où il n'y a aucune direction sur laquelle le module tend vers l'infini). La fonction tangente est méromorphe, car c'est le quotient de deux fonctions holomorphes.


2) Fonctions réciproques

   Il est bon de noter que le fonctions admettant une réciproque holomorphe sont rares. Par exemple les uniques fonctions holomorphes sur et bijectives sont les fonctions affines. Pour inverser une fonction entière, on doit choisir une restriction de sur laquelle la fonction est injective, puis l'inverser. La plupart du temps les fonctions trouvées sont multiformes. Dire que f est mutiforme signifie qu'il existe une autre fonction g coïncidant avec f sur un ouvert, et que sur un autre ouvert f et g sont distinctes.
   On commence par le logarithme, il va servir pour toutes les autres :

Fonction logarithme sur [-2,2] + i [-2,2]
            

     C'est la version la plus couramment utilisée du logarithme : le logarithme principal. Il amène des déterminations des racines n-ièmes, qui dépendent du choix d'un logarithme, et du choix de quelle racine on a l'intention de prendre :

  Disons qu'on a choisi un logarithme ; une fonction est donnée par  ou  . On a donc le choix entre deux déterminations de la racine à logarithme fixé. De la même façon (expliqué juste après) un choix de logarithme et de racine carrée détermine un arc-sinus :

Fonction racine  sur [-2,2] + i [-2,2] :                              Fonction arc-sinus sur [-2,2] + i [-2,2]
   

    À gauche, on a choisi une des deux racines venant de notre logarithme. On peut noter qu'elle ne prend que la moitié des valeurs du plan : les arguments qu'elle peut atteindre sont définis par le choix des déteminations. Par ailleurs, l'opposée balaie toutes les couleurs manquantes sur ce graphe.  Pour en voir beaucoup plus sur les racines et logarithmes, RDV sur Déterminations !
      Pour la fonction arc-sinus : en écrivant tout comme si les racines et logarithmes étaient bien définis (la version avec les mains), on résoud l'équation  et on trace Comme on a déjà déterminé une fonction racine et une fonction logarithme, on a déterminé un arc-sinus. On voit qu'au voisinage de 0 elle ressemble à l'identité (tout comme sinus). Elle a deux demi-droites de discontinuité, qui partent respectivement de -1 et 1. Pour revoir l'arc-sinus comme vous ne l'avez jamais vu, rendez vous sur Déterminations aussi !

De la même façon     avec des choix de déterminations supposés connus.
Fonction arc-tangente :
           

       Elle aussi ressemble à l'identité au voisinage de 0. Les discontinuités sont les deux demi-droites imaginaires pures partant de i et de -i. Celle ci aussi dépend des déterminations. Pour ces deux fonctions (comme la plupart du temps) j'ai choisi la détermination principale du log et la première racine carrée.
    Toutes les fonctions qu'on a dessinées ici sont les déterminations principales de log, racine, arc-sin, arc-tan. Elles n'ont rien de particulièrement intrinsèques, mais elles ont toutes le mérite de prolonger celles qu'on connaît sur (enfin, sur les sous parties de où elles sont définies). Sur la page Déterminations on peut voir des logarithmes ne prolongeant pas celui de .

3)  Monômes et fractions rationnelles

On a déjà rencontré quelques monômes, en voici d'autres :

La fonction cube   sur [-2,2] + i [-2,2] :                         L'inverse au carré :    sur [-2,2] + i [-2,2] :    

    Le zéro étant triple (à gauche), l'argument fait 3 tours autour de 0. On voit que la droite réelle est stable. Pour le pôle, on voit de même son ordre 2 au fait que l'argument fait 2 tours. Les monômes se ressemblent car tous les monômes stabilisent l'ensemble des cercles centrés en 0.
Voyons maitenant un polynôme :  sur [ -1.5 , 1.5 ] + i [ -1.5 , 1.5 ]
                     
                          
   On a un zéro double et deux zéros simples, la fonction s'échappe à l'infini dans toutes les directions. Elle a un pôle d'ordre 4 à l'infini, c'est le degré du polynôme. Pour voir un pôle de polynôme à l'infini, RDV sur Homographies !

Une fraction rationnelle : homographie  :
                             

    Il est intéressant de noter que les lignes d'équimodules et les lignes de mêmes arguments (modulo ) sont des cercles ou des droites. Les homographies envoient les cercles-droites vers des cercles-droites...

4) D'autres fonctions...

    Avec tout ça on peut déjà imaginer quelques fonctions plus complexes mais encore simples. Genre les facteurs de Weierstrass, qui permettent de donner l'existence d'une fonction entière s'annulant sur S, pour tout S ensemble de points isolés.
définit une fonction entière qui ne s'annule qu'en 1.
  En voilà un avec p=3, sur le carré [-3,3] + i [-3,3] :
                     

     On peut même regarder sa singularité à l'infini (de plus près, [ -0.5 , 1.5 ] + i [-1,1])  :
   
   
     Trois belles branches infinies dues à un terme en X^3 qui devient le plus balaise au voisinage de l'infini. Il se trouve que cette fonction est d'ordre 3. Cependant toutes les singularités de fonctions d'ordre i n'ont pas cette dégaine...
Pour s'en convaincre, la singularité du sinus (d'ordre 1) est sur la page Singularités !
D'autres singularités à l'infini et ramenées dans le plan sont éparpillées sur plusieurs pages...

Une petite dernière, quelle est la forme de ?     sur [-3,3] + i [-3,3]
                   
La demi droite de discontinuité vient du fait que =exp(x.Log(x)) Donc le logarithme étant discontinu, lui aussi est disontinu. On voit par ailleurs que la direction des réels positifs voit une forte croissance de la fonction.
Si Bob observe attentivement la droite de discontinuité, il verra peut-être qu'elle a des points de continuité sur les entiers négatifs : quand la couleur est rouge ou bleue (car c'est aussi l'ensemble des points d'image réelle sur la discontinuité) on peut traverser la droite sans changement brusque de couleur.

On a à peu près fait le tour des fonctions classiques, il y a d'autres sections pour voir des fonctions peut-être un peu plus exotiques !